Question

【題目】請閱讀下列材料：

問題：如圖1，在等邊三角形ABC內有一點P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度數的大小和等邊三角形ABC的邊長．

李明同學的思路是：將△BPC繞點B逆時針旋轉60°，畫出旋轉后的圖形（如圖2），連接PP′，可得△P′PC是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），從而得到∠BPC=∠AP′B=__________；，進而求出等邊△ABC的邊長為__________；

問題得到解決．

請你參考李明同學的思路，探究并解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度數的大小和正方形ABCD的邊長．

Answer 1

【答案】（1）150°，；（2）135°，

【解析】試題分析：（1）利用旋轉的性質，得到全等三角形.

(2)利用（1）中的解題思路，把△BPC,旋轉，到△BP’A,連接PP’,BP’，容易證明△APP’是直角三角形，∠BP’E=45°，已知邊BP’=BP=，BE=BP’=1，勾股定理可求得正方形邊長.

（1）150°

（2）將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得△BP′A，則△BPC≌△BP′A．

∴AP′=PC=1，BP=BP′=；

連接PP′，在Rt△BP′P中，

∵BP=BP′=，∠PBP′=90°，

∴PP′=2，∠BP′P=45°；

在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=，

∵，即AP′2+PP′2=AP2；

∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，

∴∠AP′B=135°，

∴∠BPC=∠AP′B=135°．

過點B作BE⊥AP′，交AP′的延長線于點E；則△BEP′是等腰直角三角形，

∴∠EP′B=45°，

∴EP′=BE=1，

∴AE=2；

∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=；

∴∠BPC=135°，正方形邊長為．