Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長是2，點E是射線AB上一動點（點E與點A、B不重合），過點E作FG⊥DE交射線CB于點F、交DA的延長線于點G．

（1）求證：DE=GF．
（2）連結DF，設AE=x，△DFG的面積為y，求y與x之間的函數解析式．
（3）當Rt△AEG有一個角為30°時，求線段AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：過點F作FH⊥DA，垂足為H，

∵在正方形ABCD中，∠DAE=∠B=90°，

∴四邊形ABFH是矩形，

∴FH=AB=DA，

∵DE⊥FG，

∴∠G=90°﹣∠ADE=∠DEA，

又∴∠DAE=∠FHG=90°，

∴△FHG≌△DAE，

∴DE=GF

（2）解：∵△FHG≌△DAE

∴FG=DE= ，

∵S△DGF= FGDE，

∴y= ，

∴解析式為：y= （0＜x＜2）

（3）解：①當∠AEG=30°時，

在Rt△ADE中，∵∠DAE=90°，AD=2，∠AED=90°﹣30°=60°，

∴AE=ADtan30°= ，

②當∠AEG=60°時，

在Rt△ADE中，∵∠DAE=90°，AD=2，∠AED=90°﹣60°=30°，

∴AE=ADtan60°=2 ，

綜上所述，滿足條件的AE的值為2 或 ．

【解析】（1）過點F作FH⊥DA，垂足為H，只要證明，△FHG≌△DAE即可解決問題；（2）由（1）可知DE=FG，所以△DGF的底與高可以關鍵勾股定理用含x的式子表示出來，所以解析式就可以表示出來；（3）分兩種切線畫出圖形分別解決即可；
【考點精析】掌握正方形的性質是解答本題的根本，需要知道正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．