Question

在數學課外活動中，某學習小組在討論“導學案”上的一個作業題：
已知：如圖，OA平分∠BAC，∠1=∠2．
求證：AO⊥BC．
同學甲說：要作輔助線；
同學乙說：要應用角平分線性質定理來解決：
同學丙說：要應用等腰三角形“三線合一”的性質定理來解決．
如果你是這個學習小組的成員，請你結合同學們的討論寫出證明過程．

Answer 1

證明：如圖，過O點作OD⊥AB于D，過O點作OE⊥AC于E．
∵OD⊥AB，OE⊥AC，AO平分∠BAC，
∴OD=OE．                               
∵∠1=∠2，
∴OB=OC．                               
在Rt△BDO和Rt△CEO中，
，
∴△DOB≌△EOC（HL），
∴∠DBO=∠ECO，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
∵OA平分∠BAC，
∴AO⊥BC．
分析：如圖，過O點作OD⊥AB于D，過O點作OE⊥AC于E．利用角平分線的性質和全等三角形的判定定理HL證得Rt△DOB≌Rt△EOC（HL），則由全等三角形的性質和等角對等邊得到
AB=AC，再利用等腰三角形“三線合一”的性質證得AO⊥BC．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．