Question

在平面直角坐標系xoy中， 一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜邊 AB在x軸上，直角頂點C在y軸正半軸上，已知點A（－1，0）．

   （1）請直接寫出點B、C的坐標：B（   ，   ）、C（   ，   ）；并求經過A、B、C三點的拋物

線解析式；

   （2）現有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把頂點E放在線段

AB上（點E是不與A、B兩點重合的動點），并使ED所在直線經過點C． 此時，EF所在直線與（1）中的拋物線交于第一象限的點M．

 ①設AE=x，當x為何值時，△OCE∽△OBC；

 ②在①的條件下探究：拋物線的對稱軸上是否存在點P使△PEM是等腰三角形，若存在，請求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）B（3，0），C（0，），（2）①x=2②存在點P，證明見解析

【解析】解：（1）B（3，0），C（0，）。

                ∵A（—1，0）B（3，0）

∴可設過A、B、C三點的拋物線為 。

                又∵C（0，）在拋物線上，∴，解得。

∴經過A、B、C三點的拋物線解析式 即。

（2）①當△OCE∽△OBC時，則。

               

∵OC=， OE=AE—AO=x－1， OB=3，∴�！鄕=2。

 ∴當x=2時，△OCE∽△OBC。

 ②存在點P。

               

由①可知x=2，∴OE=1�！郋（1，0）。 此時，△CAE為等邊三角形。

 ∴∠AEC=∠A=60°。

又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=60°。

∴點C與點M關于拋物線的對稱軸對稱。

 ∵C（0，），∴M（2，）。

  過M作MN⊥x軸于點N（2，0），

∴MN=。 ∴ EN=1。

∴ 。

若△PEM為等腰三角形，則：

ⅰ)當EP=EM時, ∵EM=2，且點P在直線x=1上，∴P(1，2)或P（1，－2）。

                ⅱ）當EM=PM時，點M在EP的垂直平分線上，∴P(1，2) 。        

                 ⅲ）當PE=PM時，點P是線段EM的垂直平分線與直線x=1的交點，∴P(1，)

               ∴綜上所述，存在P點坐標為（1，2）或（1，—2）或（1，2）或（1，）時，

△EPM為等腰三角形。

（1）由已知，根據銳角三角函數定義和特殊角的三角函數值可求出OC和AB的長，從而求得點B、C的坐標。設定交點式，用待定系數法，求得拋物線解析式。

（2）①根據相似三角形的性質，對應邊成比例列式求解。

     ②求得EM的長，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三種情況求解即可。