Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長線上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）證明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度數；
（3）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當∠ABC=116°時，則∠EPC= ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴BA=BC，∠ABD=∠CBD=45°，

在△ABP和△CBP中

，

∴△ABP≌△CBP，

∴PA=PC，

∵PA=PE，

∴PC=PE；

（2）解：∵△ABP≌△CBP，

∴∠PAB=∠PCB，

∴∠PAD=∠PCD，

∵PA=PE，

∴∠PAE=∠E，

∴∠PCD=∠E，

而∠DFE=∠PFC，

∴∠CPF=∠EDF=90°，

（3）64°
【解析】（3）∵四邊形ABCD為菱形，

∴BA=BC，∠ABD=∠CBD=58°，∠ADC=∠ABC=116°，

∴∠EDC=64°，

在△ABP和△CBP中

，

∴△ABP≌△CBP，

∴PA=PC，∠PAB=∠PCB，

∴∠PAD=∠PCP，

∵PA=PE，

∴∠PAD=∠PEA，

∴∠PCD=∠PED

而∠DFE=∠PFC，

∴∠CPF=∠EDF=64°．

所以答案是64°．

【考點精析】通過靈活運用菱形的性質和正方形的性質，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．