Question

【題目】如圖，點P是正方形ABCD內的一點，連接CP，將線段CP繞點C順時針旋轉90°，得到線段CQ，連接BP，DQ．

（1）如圖a，求證：△BCP≌△DCQ；
（2）如圖，延長BP交直線DQ于點E．
①如圖b，求證：BE⊥DQ；
②如圖c，若△BCP為等邊三角形，判斷△DEP的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠BCD=90°，∠PCQ=90°，

∴∠BCP=∠DCQ，

在△BCP和△DCQ中，

，

∴△BCP≌△DCQ

（2）解：①如圖b，∵△BCP≌△DCQ，

∴∠CBF=∠EDF，又∠BFC=∠DFE，

∴∠DEF=∠BCF=90°，

∴BE⊥DQ；

②∵△BCP為等邊三角形，

∴∠BCP=60°，∴∠PCD=30°，又CP=CD，

∴∠CPD=∠CDP=75°，又∠BPC=60°，∠CDQ=60°，

∴∠EPD=45°，∠EDP=45°，

∴△DEP為等腰直角三角形．

【解析】（1）根據旋轉的性質證明∠BCP=∠DCQ，得到△BCP≌△DCQ；（2）①根據全等的性質和對頂角相等即可得到答案；

②根據等邊三角形的性質和旋轉的性質求出∠EPD=45°，∠EDP=45°，判斷△DEP的形狀．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解旋轉的性質的相關知識，掌握①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．