Question

如圖，已知：點A₁、A₂、A₃、…在平面直角坐標系x軸上，點B₁、B₂、B₃、…在直線y=

3

3

x+1上，△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均為等邊三角形，求A₂₀₁₃的橫坐標

（2²⁰¹³-1）

3

．

Answer 1

分析：首先設直線y=

3

3

x+1分別于x軸、y軸于點C、D，即可求得點C與D的坐標，即可求得∠OCD的度數，又由△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均為等邊三角形，易求得OB₁=OC=

3

，A₁B₁=A₁C，A₂B₂=A₂C，則可得規律：OA_n=（2ⁿ-1）

3

．繼而求得答案．

解答：解：設直線y=

3

3

x+1分別于x軸、y軸于點C、D，
∴點C（-

3

，0），點D（0，1），
∴OC=

3

，OD=1，
∴tan∠OCD=

1

3

=

3

3

，
∴∠OCD=30°，
∵△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均為等邊三角形，
∴∠A₁OB₁=∠A₂A₁B₂=∠A₃A₂B₃=60°，
∴∠OB₁C=∠A₁B₂C=∠A₂B₃C=∠OCD=30°，
∴OB₁=OC=

3

，A₁B₂=A₁C，A₂B₃=A₂C，
∴OA₁=OB₁=

3

，OA₂=OA₁+A₁A₂=OA₁+A₁B₁=

3

+2

3

=3

3

，
同理：OA₃=7

3

，OA₄=15

3

，
∴OA_n=（2ⁿ-1）

3

．
∴OA₂₀₁₃=（2²⁰¹³-1）

3

．
故答案為：（2²⁰¹³-1）

3

．

點評：此題考查了一次函數的性質、等邊三角形的性質、等腰三角形的判定與性質以及三角函數的知識．此題難度較大，注意掌握數形結合思想的應用．