Question

認真閱讀下面關于三角形內外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題．
探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，通過分析發現∠BOC=90°+

1

2

∠A，理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB
∴∠1+∠2=

1

2

(∠ABC+∠ACB)
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∴∠1+∠2=

1

2

(180 °-∠A)=90°-

1

2

∠A
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-

1

2

∠A）
=90°+

1

2

∠A
探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關系？請說明理由．
探究3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關系？（只寫結論，不需證明）
結論：

 

．

Answer 1

分析：（1）根據提供的信息，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠O與∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC與∠O的關系；
（2）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義表示出∠OBC與∠OCB，然后再根據三角形的內角和定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）探究2結論：∠BOC=

1

2

∠A，
理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2-∠1=

1

2

∠A+∠1-∠1=

1

2

∠A；

（2）探究3：∠OBC=

1

2

（∠A+∠ACB），∠OCB=

1

2

（∠A+∠ABC），
∠BOC=180°-∠0BC-∠OCB，
=180°-

1

2

（∠A+∠ACB）-

1

2

（∠A+∠ABC），
=180°-

1

2

∠A-

1

2

（∠A+∠ABC+∠ACB），
結論∠BOC=90°-

1

2

∠A．

點評：本題考查了三角形的外角性質與內角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵，讀懂題目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．