Question

如圖，△ABC中，O是AC上的任意一點（不與點A、C重合），過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）求證：OE=OF；
（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形，并證明你的結論． 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）當O運動到AC中點.

試題分析：（1）根據MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角對等邊即可證得OE=OF；
（2）根據矩形的性質可知：對角線且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．
（1）證明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．
（2）解：當O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四邊形AECF是矩形．