Question

【題目】如圖，點A在直線l上，點B在直線l外，點B關于直線l的對稱點為C，連接AC，過點B作BD⊥AC于點D，延長BD至E使BE=AB，連接AE并延長與BC的延長線交于點F.

（1）補全圖形；

（2）若∠BAC=2α，求出∠AEB的大小（用含α的式子表示）；

（3）用等式表示線段EF與BC的數量關系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠AEB=；（3）BC=，證明見解析.

【解析】

（1）根據題意作圖即可補全圖形；

（2）先根據直角三角形兩銳角互余的性質求出∠ABD，再由BE=AB，可得∠AEB=∠BAE，然后利用三角形的內角和定理即可求得結果；

（3）設l與BC交于點H，過點E作EG⊥BF于點G，如圖3，先利用軸對稱的性推出∠BAH=∠CAH=α，再根據質余角的性質推出∠CBD=∠CAH=α，進一步利用（2）的結論和三角形的外角性質推出∠F=45°，進而可得，然后根據AAS可證明△ABH≌△BEG，從而得BH=EG，而BC=2BH，進一步即可得出EF與BC的數量關系.

解：（1）補全圖形如圖1所示：

（2）∵BD⊥AC，∠BAD=2α，∴∠ABD=90°－2α，

∵BE=AB，∴∠AEB=∠BAE=；

（3）線段EF與BC的數量關系是：BC=.

證明：設l與BC交于點H，過點E作EG⊥BF于點G，如圖2，

∵點B關于直線l的對稱點為C，∠BAC=2α，

∴BH=CH，∠BAH=∠CAH=α，

∵AH⊥BC，BD⊥AC，∴∠CAH+∠ACH=90°，∠CBD+∠ACH=90°，

∴∠CBD=∠CAH=α，

∵∠AEB，∠AEB=∠CBD+∠F，

∴∠F=45°，則△EFG為等腰直角三角形，∴，

∵∠BAH=∠EBG=α，∠AHB=∠BGE=90°，AB=BE，

∴△ABH≌△BEG（AAS），

∴BH=EG，

∵BC=2BH，∴BC=2EG=.