Question

【題目】如圖，已知，為的直徑，過點作弦垂直于直徑于，點恰好為的中點，連接，．

（1）求證：；

（2）若，求的半徑；

（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）的半徑為2；（3）．

【解析】

（1）連接BD，根據圓周角定理得出∠CBD=∠AEB=90°，∠A=∠C，進而求得∠ABE=∠CDB，得出，即可證得結論；
（2）根據垂徑定理和圓周角定理易求得∠A=∠ABE，得出∠A=30°，解直角三角形求得AB，即可求得⊙O的半徑；
（3）根據S陰=S扇形-S△EOB求得即可．

（1）證明：連接，

∵，為的直徑，

∴，

∵點恰好為的中點，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴；

（2）解：∵過點作弦垂直于直徑于，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴的半徑為2．

（3）連接，

∵，

∴，

∴是等邊三角形，

∵，

∴，

∴．