Question

【題目】如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以 BC 為直徑的⊙O 交 AB 于點 D，過點 D 作∠ADE＝∠A，交 AC 于點 E．

（1）求證：DE 是⊙O 的切線；

（2）若 ，BC=15cm,求 DE 的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DE 的長為 10．

【解析】

（1）連接OD，只要證明∠ODE＝90°即可；（2）先由求出AC長，由切線長定理可知ED＝DC，由等角對等邊可知DE＝AE，因此AE＝CE＝DE，易求DE 的長.

（1）證明：連接 OD，如圖，

∵∠C＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB， 而∠ADE＝∠A，

∴∠ADE+∠ODB＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE 是⊙O 的切線；

（2）解：在 Rt△ABC 中

∴AC＝×15＝20，

∵ED 和 EC 為⊙O 的切線，

∴ED＝DC，

而∠ADE＝∠A，

∴DE＝AE，

∴AE＝CE＝DE

AC＝10，即 DE 的長為10．