Question

我們常用各種多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案，也就是說，使用給定的某些多邊形，能夠拼成一個平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊（在幾何里稱為平面密鋪）．當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角和為360°時，就能夠拼成一個平面圖形．
探究用同一種正多邊形進行平面密鋪．
例如：如圖1，用三個同種類型（大小一樣、形狀相同）的正六邊形地磚可以平面密鋪．
（1）請問僅限于同一種類型的多邊形進行密鋪，哪幾種能平面密鋪？______（填序號）；
①正三角形　　②正四邊形　　 ③正五邊形　　 ④正八邊形
探究用兩種邊長相等的正多邊形進行平面密鋪．
例如：如圖2，二個正三角形和二個正六邊形可以平面密鋪．
（2）限用兩種邊長相等的正多邊形進行平面密鋪，以下哪幾種是可行的？______
A．正三角形和正方形　　　B．正方形和正八邊形　　　　 C．正方形和正五邊形
D．正八邊形和正六邊形　　E．正三角形和正十二邊形　　F．正三角形和正五邊形
（3）繼續推廣到用三種不同的正多邊形進行平面密鋪，請寫出符合題意的不同組合．
例如：①正三角形、正方形、正六邊形；
②正三角形、正九邊形、正十八邊形；
③______；
④______．
（4）如果用形狀，大小相同的如圖3方格紙中的三角形，能進行平面密鋪嗎？若能，請在方格紙中畫出密鋪的設計圖．

Answer 1

解：（1）根據正四邊形每個內角為90度，能整除360度，能密鋪；
正三角形的每個內角是60°，能整除360°，能密鋪．
故答案為：①②；

（2）正三角形的每個內角是60°，正方形的每個內角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，能密鋪．
正八邊形的每個內角是135°，正方形的每個內角是90°，∵2×135°+90°=360°，能密鋪．
正三角形的每個內角是60°，正十二邊形的每個內角是150°，∵60°+2×150°=360°，能密鋪．
故ABE可以進行平面鑲嵌；
故答案為：ABE．

（3）正三角形、正四邊形，正十二邊形； 正三角形，正十邊形，正十五邊形；
正四邊形，正六邊形，正十二邊形； 正四邊形，正五邊形，正二十邊形；
正三角形，正八邊形，正二十四邊形；正三角形，正七邊形，正四十二邊形，
（寫出二個，每個1分）

（4）如圖所示：
．
分析：（1）根據正三角形的每個內角是60°，正方形的每個內角是90°，能進行密鋪，說明一個頂點處的各內角之和為360°；
（2）分別求出各個正多邊形每個內角的度數，再結合鑲嵌的條件即可作出判斷．
（3）利用任意圖形一個頂點處的各內角之和為360°得出答案即可；
（4）任意三角形的內角和是180°，放在同一頂點處6個即能密鋪，即每個角放在同一頂點處使用2次．
點評：此題主要考查了平面鑲嵌，兩種或兩種以上幾何圖形鑲嵌成平面的關鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角．任意多邊形能進行鑲嵌，說明它的內角和應能整除360度．