Question

已知如圖所示，直線的解析式為，并且與軸、軸分別相交于點A、B。

(1)求A、B兩點的坐標；

(2)一個圓心在坐標原點、半徑為1的圓，以0.4個單位／每秒的速度向軸正方向運動，問什么時刻該圓與直線相切；

(3)在題(2)中，若在圓開始運動的同時，一動點P從B點出發，沿BA方向以0.5個單位／秒的速度運動，問在整個運動的過程中，點P在動圓的圓面(圓上和圓的內部)上一共運動了多少時間?

Answer 1

解：(1)在中，令，得；令，得，

故得A、B兩點的坐標為A(4，0)，B(0，-3)

(2)若動圓的圓心在C處時與直線相切。設切點為D，如圖所示。

連接CD，則CD⊥AD

由∠CAD＝∠BAO，∠CDA＝∠BOA＝Rt∠，可知Rt△ACD∽Rt△ABO

∴，即，則

此時，(秒)

根據對稱性．圓C還可能在直線的右側，與直線相切。

此時，

(秒) 答：(略)

(3)設在秒，動圓的圓心在F點處，動點在P處，此時OF=0.4，BP=0.5，F點的坐標為(0.4，0)，連接PF。

∵，又，∴，

∴FP∥OB，  ∴PF⊥OA

∴P點的橫坐標為0.4，又∵P點在直線AB上，∴P點的縱坐標為0.3-3，

可見：當PF=1時，P點在動圓上，當時，P點在動圓內。

當P=1時，由對稱性可知，有兩種情況：

①當P點在軸下方時，，解之得：

②當P點在軸上方時，，解之得：

∴當時，，此時點P在動圓的圓面上，所經過的時間為，

答：動點在動圓的圓面上共經過了秒。