Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系xoy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3．過原點O作∠AOC的平分線交AB于點D，連接DC，過點D作DE⊥DC，交OA于點E．

（1）填空：寫出點D、E的坐標：D，E．

（2）求過點E、D、C的拋物線的解析式；

（3）點G的坐標為（1，0），在位于第一象限內的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構成的△PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（2，2），E（0，1）；（2）；（3）存在三個滿足條件的點Q，使得△PCG是等腰三角形，或或

【解析】

（1）根據OA=2，OC=3，OD平分∠AOC，可得D點坐標，根據三角形全等可求得E點坐標；

（2）已知三點，可用待定系數法求出二次函數解析式；

（3）應當明確△PCG構成等腰三角形有三種情況，逐一討論求解，要求思維的完備性．

（1）∵OA=2，OC=3，OD平分∠AOC，

∴AD=OA=2，∴D（2,2），

∵DE⊥DC，∴∠ADE+∠BDC=90°，

∵∠BCD+∠BDC=90°，

∴∠ADE =∠BCD ，

在Rt△ADE和Rt△BCD中，

∠A=∠B=90°，AD=BC=2，∠ADE =∠BCD ，

∴△ADE≌△BCD，∴AE=BD=1，

∴OE=1,即E（0，1）．

（2）設過點E、D、C的拋物線的解析式為，

把C（3，0）、D（2，2）、E（0，1）三點坐標代入解析式中得：

解得 ，

故過點E、D、C的拋物線的解析式為，

（3）設P（t，2），又G（1，0），C（3，0）

∴，，GC=2，

有三種情況，分別討論：

①PG=PC，則，解得t=2．

∴P（2，2），此時點Q與點P重合，即Q（2，2）；

②若PG=GC，則，解得t=1，

∴P（1，2），此時GP⊥x軸，GP與該拋物線在第一象限內的交點Q的橫坐標為1，

代入拋物線解析式可得Q（1，）；

③若PC=GC，則，解得t=3

∴P（3，2），此時PC=GC=2，PCG是等腰直角三角形，

過點Q作QH⊥x軸于點H，

則QH=GH，設QH=h，即Q（h+1，h）

∴，解得或（舍去）．

∴Q（）．

綜上所述，存在三個滿足條件的點Q，使得△PCG是等腰三角形，

分別是：或或．