Question

已知：如圖，△ABC關于y軸對稱，點B、P關于y軸的對稱點分別是點C、Q．BP=AP=2，且P點坐標為（-1，0）．
（1）分別寫出Q點和C點的坐標，并指出△ABP關于y軸的對稱三角形；
（2）M為線段CQ上一點，若以x軸為旋轉軸，旋轉△PAM一周形成的旋轉體的全面積為5

3

π，求線段AM的長；
（3）N為線段AM上一動點（與點A、M不重合），過點N分別作NH⊥x軸于H，NG⊥y軸于G．求當矩形OHNG的面積最大時N點的坐標．

Answer 1

分析：（1）P，Q關于y軸對稱，那么Q的坐標應該是（1，0），BP=2，那么CQ=2，因此C的坐標是（3，0），由于B，P關于y軸的對稱點分別是C，Q，那么三角形ABP關于y軸的對稱三角形就應該是ACQ；
（2）旋轉一周得出的圖形應該是兩個圓錐的組合體，也就是以OA為底面圓半徑，AM和AP為母線長的兩個圓錐．那么關鍵是求出OA的長，可在直角三角形AOM中，根據AP，OP的長，求出OA的值，然后根據圓錐體全面積的計算方法表示出圓錐的全面積（這里不應該算底面圓），進而得出AM的值；
（3）求矩形的面積關鍵是求N點的坐標，那么就必須先求出AM所在直線的解析式，根據直線過A點，我們可將直線設成y=kx+

3

，然后根據直線過M點，而OM可以在直角三角形AMO中求出，也就能得出M的坐標，然后用待定系數法求出函數的解析式，這樣，可根據矩形的面積公式，以N的橫坐標的絕對值當矩形的寬，以N的縱坐標的絕對值當矩形的長，以此可得出關于矩形的面積與橫坐標的函數關系式，然后根據函數的性質判定出x為什么值時，矩形的面積最大，然后將x的值代入AM所在直線的解析式中得出N點的坐標．

解答：解：（1）Q點坐標為（1，0）；C點坐標為（3，0）；△ABP與△ACQ關于y軸對稱；

（2）在Rt△AOP中，∵AP=2，PO=1，AO=

22-1

=

3

，依題意有：

1

2

×2

3

π×2+

1

2

×2

3

π×AM=5

3

π，∴AM=3；

（3）在Rt△AOM中，∵AO=

3

，AM=3，
∴OM=

AM2-AO2

=

6

，
∴點M的坐標為（

6

，0），設直線AM的解析式為：y=kx+

3

，
∵直線AM經過點M（

6

，0），

6

k+

3

=0，k=-

2

2

，
∴直線AM的解析式為：y=-

2

2

x+

3

．設點N的坐標為（x，y），
則S_矩形AGOH=xy=x（-

2

2

x+

3

）=-

2

2

x²+

3

x=-

2

2

（x-

6

2

）²+

3 2

4

，
∴當x=

6

2

時，矩形NGOH的面積取得最大值，
此時y=-

2

2

x+

3

=

3

2

，
∴點N的坐標為（

6

2

，

3

2

）．

點評：本題主要考查了對稱的性質，一次函數及二次函數的實際應用等知識點，根據對稱得出各邊的長是解題的關鍵．