Question

【題目】如圖甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分別為B、P、D，且三個垂足在同一直線上，我們把這樣的圖形叫“三垂圖”．

（1）證明：ABCD=PBPD．
（2）如圖乙，也是一個“三垂圖”，上述結論成立嗎？請說明理由．
（3）已知拋物線與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點（0，﹣3），頂點為P，如圖丙所示，若Q是拋物線上異于A、B、P的點，使得∠QAP=90°，求Q點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠B=∠D=90°，

∴∠A+∠APB=90°，

∵AP⊥PC，

∴∠APB+∠CPD=90°，

∴∠A=∠CPD，

∴△ABP∽△PCD，

∴ = ，

∴ABCD=PBPD

（2）

ABCD=PBPD仍然成立．

理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠B=∠CDP=90°，

∴∠A+∠APB=90°，

∵AP⊥PC，

∴∠APB+∠CPD=90°，

∴∠A=∠CPD，

∴△ABP∽△PCD，

∴ = ，

∴ABCD=PBPD

（3）

設拋物線解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∵拋物線與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點（0，﹣3），

∴ ，

解得 ，

所以，y=x2﹣2x﹣3，

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴頂點P的坐標為（1，﹣4），

過點P作PC⊥x軸于C，設AQ與y軸相交于D，

則AO=1，AC=1+1=2，PC=4，

根據（2）的結論，AOAC=ODPC，

∴1×2=OD4，

解得OD= ，

∴點D的坐標為（0， ），

設直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0），

則 ，

解得 ，

所以，y= x+ ，

聯立 ，

解得 ， （為點A坐標，舍去），

所以，點Q的坐標為（ ， ）．

【解析】（1）根據同角的余角相等求出∠A=∠CPD，然后求出△ABP和△PCD相似，再根據相似三角形對應邊成比例列式整理即可得證；（2）與（1）的證明思路相同；（3）利用待定系數法求出二次函數解析式，根據拋物線解析式求出點P的坐標，再過點P作PC⊥x軸于C，設AQ與y軸相交于D，然后求出PC、AC的長，再根據（2）的結論求出OD的長，從而得到點D的坐標，利用待定系數法求出直線AD的解析式，與拋物線解析式聯立求解即可得到點Q的坐標．