Question

【題目】 ⑴如圖，在正方形中，點分別在上，于點，求證；

⑵如圖，將⑴中的正方形改為矩形，于點，探究與的數量關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）AB=BC，見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據正方形的性質，可得∠ABC與∠C的關系，AB與BC的關系，根據兩直線垂直，可得∠AMB的度數，根據直角三角形銳角的關系，可得∠ABM與∠BAM的關系，根據同角的余角相等，可得∠BAM與∠CBF的關系，根據ASA，可得△ABE≌△BCF，根據全等三角形的性質，可得答案；

（2）根據矩形的性質得到∠ABC=∠C，由余角的性質得到∠BAM=∠CBF，根據相似三角形的性質即可得到結論．

試題解析（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．

∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，

∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．

在△ABE和△BCF中，，

∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；

（2）解：AB=BC，

理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，

∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，

∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，

∴，∴AB=BC．