Question

（本小題滿分7分）
已知：等邊三角形ABC
如圖1，P為等邊△ABC外一點，且∠BPC=120°．
試猜想線段BP、PC、AP之間的數量關系,并證明你的猜想；

（2）如圖2，P為等邊△ABC內一點，且∠APD=120°．求證：PA+PD+PC＞BD

Answer 1

猜想：AP="BP+PC                " ------------------------------1分
（1）證明：延長BP至E，使PE=PC，聯結CE
∵∠BPC=120°
∴∠CPE=60°，又PE=PC
∴△CPE為等邊三角形
∴CP=PE=CE，∠PCE=60°
∵△ABC為等邊三角形
∴AC=BC，∠BCA=60°
∴∠ACB=∠PCE，
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP
即：∠ACP=∠BCE
∴△ACP≌△BCE
∴AP=BE-------------------------2分
∵BE=BP+PE
∴AP="BP+PC" --------------------------------------------- 3分
（2）方法一：
在AD外側作等邊△AB′D     --------------------- 4分
則點P在三角形ADB′外
　　 ∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD
在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′， 
∴PA+PD+PC＞CB′      ------------------------------------ 5分
∵△AB′D、△ABC是等邊三角形
∴AC=AB，AB′=AD，
∠BAC=∠DA B′=60°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD
即：∠BAD=∠CAB′
∴△AB′C≌△ADB  
∴C B′="BD         " -------------------------------------- 6分
∴PA+PD+PC＞BD    ----------------------------------- 7分
方法二：延長DP到M使PM=PA，聯結AM、BM
∵∠APD=120°，
∴△APM是等邊三角形， -----------------------------4分
∴AM=AP，∠PAM=60°
∴DM="PD+PA         " ------------------------------5分
∵△ABC是等邊三角形
∴AB=AC，∠BAC=60°
∴△AMB≌△APC
∴BM="PC          " -------------------------------------------6分
在△BDM中，有DM + BM＞BD， 
∴PA+PD+PC＞BD      ----------------------------------------

解析