Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點(diǎn)B是該半圓周上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OB、AB，并延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使DB＝AB，過點(diǎn)D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足，連結(jié)CF.

（1）當(dāng)∠AOB＝30°時(shí)，求弧AB的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)DE＝8時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)；

（3）在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】；3；存在

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)BC,

∵A（10，0）,∴OA=10,CA=5,

∵∠AOB=30°,

∴∠ACB=2∠AOB=60°,

∴弧AB的長(zhǎng)=;……4分

（2）連結(jié)OD,

∵OA是⊙C直徑,∴∠OBA=90°,

又∵AB=BD,

∴OB是AD的垂直平分線,

∴OD=OA=10,

在Rt△ODE中，

OE=,

∴AE=AO－OE=10-6=4,

由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA,

∴,即，∴EF=3；……8分

（3）設(shè)OE=x，

①當(dāng)交點(diǎn)E在O，C之間時(shí)，由以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，當(dāng)∠ECF=∠BOA時(shí)，此時(shí)△OCF為等腰三角形，點(diǎn)E為OC中點(diǎn)，即OE=，

∴E1（，0）；

當(dāng)∠ECF=∠OAB時(shí)，有CE=5-x,AE=10-x，

∴CF∥AB,有CF=,

∵△ECF∽△EAD,

∴,即,解得：,

∴E2（，0）;

②當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，

∵∠ECF＞∠BOA，

∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，

連結(jié)BE，

∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，

∴BE=AB=BD,

∴∠BEA=∠BAO,

∴∠BEA=∠ECF,

∴CF∥BE,∴,

∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，

∴△CEF∽△AED,∴,

而AD=2BE,∴,

即,解得,＜0（舍去），

∴E3（，0）;

③當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)O的左側(cè)時(shí)，

∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF.

∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO

連結(jié)BE，得BE==AB，∠BEA=∠BAO

∴∠ECF=∠BEA,

∴CF∥BE,

∴,

又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，

∴△CEF∽△AED,∴，

而AD=2BE,∴,

∴,解得,＜0（舍去）,

∵點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上,∴E4（，0）,

綜上所述：存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似,此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為：

（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．（12分）