Question

正方形ABCD中，E為AD上的一點（不與A、D點重合），AD=nAE，BE的垂直平分線分別交AB、CD于F、G兩點，垂足為H．
（1）如圖1，當n=2時，則=　_________　；
（2）如圖1，當n=2時，求的值；
（3）延長FG交BC的延長線于M（如圖2），直接填空：當n=　_________　時，．

Answer 1

（1）    （2）     （3）

試題分析：（1）如圖1，過點H作HM⊥AD于M．
∵BE的垂直平分線分別交AB、CD于F、G兩點，HM⊥AD，
∴MH是△ABE的中位線，
∴AM=ME；
∵AD=2AE，
∴AM=DM，
∴==（平行線分線段成比例定理），
故答案為：；
（2）如圖2，連接EG、BG．
∵ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠D=∠C=90°．
設AB=BC=CD=AD=4x，CG=y．
當n=2時，AD=2AE，
∴AE=ED=2x；
在Rt△EDG中，EG²=ED²+DG²（勾股定理），
即EG²=（2x）²+（4x﹣y）²．
在Rt△BCG中，BG²=BC²+CG²，
即BG²=（4x）²+y²．
∵FG垂直平分BE，
∴EG=BG．
∴（2x）²+（4x﹣y）²=（4x）²+y²
得y=，
∴DG=DC﹣CG=．
∵FH⊥BE，
∴∠BHF=90°
可得Rt△BHF∽Rt△BAE，可得BF=．
∴；
（3）n=．



點評：本題綜合考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質以及勾股定理等知識點．要充分利用好正方形的性質，通過已知和所求的條件構建出相似三角形來求解是解題的關鍵．