Question

【題目】如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)分別位于直徑的兩側(cè)，，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)；

（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，恰好是的切線(xiàn)？畫(huà)出圖形并加以說(shuō)明．

（2）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直徑對(duì)稱(chēng)，且，畫(huà)出圖形求此時(shí)的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）畫(huà)圖見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析；（2）畫(huà)圖見(jiàn)解析，CQ＝6.4．

【解析】

（1）畫(huà)出圖形，根據(jù)切線(xiàn)的判定，直接判斷即可；

（2）畫(huà)出圖形，根據(jù)tan∠CPB＝tanA＝，AB＝5，求出AC，BC的長(zhǎng)，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)，利用等積法求出CP的長(zhǎng)度，最后，再根據(jù)tan∠CPB＝＝，求出CQ的長(zhǎng)即可．

解：（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到直線(xiàn)OC與⊙O的交點(diǎn)處．

如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到直線(xiàn)OC與⊙O的交點(diǎn)處時(shí)，則CP為的直徑，

又∵，

∴是的切線(xiàn)；

（2）如圖，連接CB．

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵∠P＝∠A，

∴tan∠CPB＝tanA＝，

在Rt△ABC中，tanA＝，

∴設(shè)BC=4k，則AC=3k，

又∵AB＝5，

∴（4k）2+（3k）2=52，

∴k=1（舍負(fù)）

∴AC＝3，BC＝4．

∵點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直徑AB對(duì)稱(chēng)，

∴CP⊥AB，

在Rt△ABC中，CP＝＝4.8，

在Rt△PCQ中，tan∠CPB＝＝，

∴＝，

∴CQ＝6.4．