Question

【題目】如圖①，O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝110°.將一三角尺的直角頂點放在點O處(∠OMN＝30°)，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

(1)將圖①中的三角尺繞點O逆時針旋轉至圖②，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，求∠BON的度數；

(2)將圖①中的三角尺繞點O以每秒5°的速度按逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為________(直接寫出結果)；

(3)將圖①中的三角尺繞點O順時針旋轉至圖③，使ON在∠AOC的內部，請探究∠AOM與∠NOC的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 35°;(2) 11或47;(3)見解析.

【解析】

（1）根據角平分線的定義以及直角的定義，即可求得∠BON的度數；

（2）分兩種情況：ON的反向延長線平分∠AOC或射線ON平分∠AOC，分別根據角平分線的定義以及角的和差關系進行計算即可；

（3）根據∠MON=90°，∠AOC=70°，分別求得∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=70°-∠AON，再根據∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（70°-∠AON）進行計算，即可得出∠AOM與∠NOC的數量關系．

（1）如圖2，

∵OM平分∠BOC，

∴∠MOC=∠MOB，

又∵∠BOC=110°，

∴∠MOB=55°，

∵∠MON=90°，

∴∠BON=∠MON-∠MOB=35°；

（2）分兩種情況：

①如圖2，∵∠BOC=110°

∴∠AOC=70°，

當直線ON恰好平分銳角∠AOC時，∠AOD=∠COD=35°，

∴∠BON=35°，∠BOM=55°，

即逆時針旋轉的角度為55°，

由題意得，5t=55°

解得t=11（s）；

②如圖3，當NO平分∠AOC時，∠NOA=35°，

∴∠AOM=55°，

即逆時針旋轉的角度為：180°+55°=235°，

由題意得，5t=235°，

解得t=47（s），

綜上所述，t=11s或47s時，直線ON恰好平分銳角∠AOC；

故答案為：11或47；

（3）∠AOM-∠NOC=20°．

理由：∵∠MON=90°，∠AOC=70°，

∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=70°-∠AON，

∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（70°-∠AON）=20°，

∴∠AOM與∠NOC的數量關系為：∠AOM-∠NOC=20°．