Question

【題目】綜合題。

（1）問題發現：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當△DCE旋轉至點A，D，E在同一直線上，連接BE，易證△BCE≌△ACD．則
①∠BEC=°；②線段AD、BE之間的數量關系是 ．
（2）拓展研究：
如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，若AE=15，DE=7，求AB的長度．
（3）探究發現：
如圖3，P為等邊△ABC內一點，且∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=5，CP=4，DP=8，求BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）120；AD=BE
（2）

解：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中， ，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴AD=BE=AE﹣DE=15﹣7=8，∠ADC=∠BEC，

∵△DCE為等腰直角三角形

∴∠CDE=∠CED=45°．

∵點A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∴AB= = =17

（3）

解：把△APC繞點C逆時針旋轉60°得△BEC，連接PE，如圖所示：

則△BEC≌△APC，

∴CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=5，∠BEC=∠APC=150°，

∴△PCE是等邊三角形，

∴∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4，

∴∠BED=∠BEC﹣∠PEC=90°，

∵∠APD=30°，

∴∠DPC=150°﹣30°=120°，

又∵∠DPE=∠DPC+∠EPC=120°+60°=180°，

即D、P、E在同一條直線上，

∴DE=DP+PE=8+4=12，

在Rt△BDE中， ，

即BD的長為13．

【解析】解：（1）①∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等邊三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
故答案為：120．
②由①得：△ACD≌△BCE，
∴AD=BE；
故答案為：AD=BE．
（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠BEC的度數．（2）同（1）證出△ACD≌△BCE，得出AD=BE=AE﹣DE=8，∠ADC=∠BEC，求出∠BEC=135°，得出∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．由勾股定理求出AB即可；（3）把△APC繞點C逆時針旋轉60°得△BEC，連接PE，則△BEC≌△APC，得出CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=5，∠BEC=∠APC=150°，證出△PCE是等邊三角形，得出∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4，求出∠BED=∠BEC﹣∠PEC=90°，證明D、P、E在同一條直線上，得出DE=DP+PE=12，再由勾股定理求出BD即可．