Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長線上，且PA=PE，PE交CD于F．

（1）求證：PC=PE；
（2）圖1中與∠EAP相等的角是和 ， 則可求∠CPE=°；
（3）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當∠ABC=120°，連接CE，請直接寫出∠CPE=°．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴BA=BC，∠ABD=∠CBD=45°，

在△ABP和△CBP中

，

∴△ABP≌△CBP，

∴PA=PC，

∵PA=PE，

∴PC=PE；

（2）∠E,∠PCD,90
（3）60
【解析】（2）解：∵△ABP≌△CBP，

∴∠PAB=∠PCB，

∴∠PAD=∠PCD，

∵PA=PE，

∴∠PAE=∠E，

∴∠PCD=∠E，

而∠DFE=∠PFC，

∴∠CPF=∠EDF=90°，

即圖1中與∠EAP相等的角是∠E和∠PCD；

⑶∵四邊形ABCD為菱形，

∴BA=BC，∠ABD=∠CBD=60°，∠ADC=∠ABC=120°，

∴∠EDC=60°，

在△ABP和△CBP中

，

∴△ABP≌△CBP，

∴PA=PC，∠PAB=∠PCB，

∴∠PAD=∠PCD，

∵PA=PE，

∴∠PAD=∠PED，

∴∠PCD=∠PED，

而∠DFE=∠PFC，

∴∠CPF=∠EDF=60°．

故答案為∠E，∠PCD，90，60．

（1）四邊形ABCD為正方形，得到BA=BC，∠ABD=∠CBD=45°，△ABP≌△CBP，得到PA=PC，由PA=PE，得到PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得到∠PAB=∠PCB，∠PAD=∠PCD，由PA=PE，得到∠PAE=∠E，∠PCD=∠E，而∠DFE=∠PFC，得到∠CPF=∠EDF=90°，即圖1中與∠EAP相等的角是∠E和∠PCD；⑶由四邊形ABCD為菱形，得到BA=BC，∠ABD=∠CBD=60°，∠ADC=∠ABC=120°，∠EDC=60°，△ABP≌△CBP，得到PA=PC，∠PAB=∠PCB，∠PAD=∠PCD，由PA=PE，得到∠PAD=∠PED，∠PCD=∠PED，而∠DFE=∠PFC，得到∠CPF=∠EDF=60°；故答案為∠E，∠PCD，90，60．