Question

在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．延長CB交x軸于點A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延長C₁B₁交x軸于點A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁．
（1）求正方形ABCD的面積；
（2）求正方形A₁B₁C₁C的面積；
（3）若按題中的規律繼續作正方形A₃B₃C₃C₂…，則正方形A_nB_nC_nC_n-1的面積為

（

9

4

）ⁿ×5

．（用含n的式子表示）

Answer 1

分析：（1）由點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．即可求得OA與OD的長，然后由勾股定理即可求得AD的長，繼而求得正方形ABCD的面積；
（2）易證得△DOA∽△ABA₁，然后由相似三角形的對應邊成比例，可求得A₁B的長，即可求得A₁C的長，即可得正方形A₁B₁C₁C的面積；
（3）觀察可得規律：正方形A_nB_nC_nC_n-1的面積為（

9

4

）ⁿ×5．

解答：解：（1）∵點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．
∴OA=1，OD=2，
在Rt△AOD中，AD=

OA2+OD2

=

5

，
∴正方形ABCD的面積為：（

5

）²=5；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∵∠DOA=∠ABA₁，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴

OD

AB

=

OA

A1B

，
即

2

5

=

1

A1B

，
解得：A₁B=

5

2

，
∴A₁C=A₁B+BC=

3 5

2

，
∴正方形A₁B₁C₁C的面積為：（

3 5

2

）²=

45

4

；

（3）∵正方形ABCD的面積為：5，正方形A₁B₁C₁C的面積為：

45

4

=

9

4

×5，
同理可得：正方形A₂B₂C₂C₁的面積為：

9

4

×

9

4

×5=（

9

4

）²×5，
∴正方形A_nB_nC_nC_n-1的面積為為：（

9

4

）ⁿ×5．
故答案為：（

9

4

）ⁿ×5．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握數形結合思想的應用．