Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC=a，BC=10，動點P沿CA方向從點C向點A運動，同時，動點Q沿CB方向從點C向點B運動，速度都為每秒1個單位長度，P、Q中任意一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．過點P作PD∥BC，交AB邊于點D，連接DQ．設P、Q的運動時間為t．
（1）直接寫出BD的長；（用含t的代數式表示）
（2）若a=15，求當t為何值時，△ADP與△BDQ相似；
（3）是否存在某個a的值，使P、Q在運動過程中，存在S_△BDQ：S_△ADP：S_梯形CPDQ=1：4：4的時刻，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）BD=t．
（2）∵PD∥BC，∴=，
∵AC=15，BC=10，CP=t，
∴PD=10﹣t，
∵△ADP∽△BDQ，
∴=，
∴=，
解得：t=4，t=15（舍去），
答：t=4時，△ADP與△BDQ相似．
（3）存在，理由是：假設存在S_△BDQ：S_△ADP：S_梯形CPDQ=1：4：4，即==，∵PD∥BC，
∴△APD∽△ACB，相似比是，
∴=，設四邊形CPDQ的邊CQ上的高是h，則△BDQ的邊BQ上的高是h，△ABC的邊BC上的高是3h，
∴BQ×h=×BC×3h，（10﹣t）=×3×10，
∴t=，
∵AP=a﹣t=a﹣，AC=a，
∴=，代入解得：a=20，
答：存在某個a的值，使P、Q在運動過程中，存在S_△BDQ：S_△ADP：S_梯形CPDQ=1：4：4的時刻，a的值是20．