Question

如圖甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果點P由點B出發沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由點A出發沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連接PQ，設運動時間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問題：
（1）設△APQ的面積為S，當t為何值時，S取得最大值？S的最大值是多少？
（2）如圖乙，連接PC，將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，當四邊形PQP′C為菱形時，求t的值；′
（3）當t為何值時，△APQ是等腰三角形？

 

Answer 1

(1)當t為秒時，S最大值為cm2;
當四邊形PQP′C為菱形時，t的值是s；
當t為s或s或s時，△APQ是等腰三角形．

解析試題分析：
（1）過點P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出=，從而求出AB，再根據=，得出PH=3﹣t，則△AQP的面積為：AQ•PH=t（3﹣t），最后進行整理即可得出答案；
（2）連接PP′交QC于E，當四邊形PQP′C為菱形時，得出△APE∽△ABC，=，求出AE=﹣t+4，再根據QE=AE﹣AQ，QE=QC得出﹣t+4=﹣t+2，再求t即可；
（3）由（1）知，PD=﹣t+3，與（2）同理得：QD=﹣t+4，從而求出PQ=，
在△APQ中，分三種情況討論：①當AQ=AP，即t=5﹣t，②當PQ=AQ，即=t，③當PQ=AP，即=5﹣t，再分別計算即可
試題解析：
解：（1）如圖甲，過點P作PH⊥AC于H，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴=，
∵AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=5cm，
∴=，
∴PH=3﹣t，
∴△AQP的面積為：
S=×AQ×PH=×t×（3﹣t）=﹣（t﹣）2+，
∴當t為秒時，S最大值為cm2．
（2）如圖乙，連接PP′，PP′交QC于E，
當四邊形PQP′C為菱形時，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC，
∴△APE∽△ABC，
∴=，
∴AE===﹣t+4
QE=AE﹣AQ═﹣t+4﹣t=﹣t+4，
QE=QC=（4﹣t）=﹣t+2，
∴﹣t+4=﹣t+2，
解得：t=，
∵0＜＜4，
∴當四邊形PQP′C為菱形時，t的值是s；
（3）由（1）知，
PD=﹣t+3，與（2）同理得：QD=AD﹣AQ=﹣t+4
∴PQ===，
在△APQ中，
①當AQ=AP，即t=5﹣t時，解得：t₁=；
②當PQ=AQ，即=t時，解得：t₂=，t₃=5；
③當PQ=AP，即=5﹣t時，解得：t₄=0，t₅=；
∵0＜t＜4，
∴t₃=5，t₄=0不合題意，舍去，
∴當t為s或s或s時，△APQ是等腰三角形．


考點：相似形綜合題.