Question

如圖，有足夠多的邊長為a的小正方形（A類）、長為a寬為b的長方形（B類）以及邊長為b的大正方形（C類），發現利用圖①中的三種材料各若干可以拼出一些長方形來解釋某些等式．
比如圖②可以解釋為：（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²
（1）取圖①中的若干個（三種圖形都要取到）拼成一個長方形，使其面積為（2a+b）（a+2b），在下面虛框中畫出圖形，并根據圖形回答（2a+b）（a+2b）=

2a²+5ab+2b²

．
（2）若取其中的若干個（三種圖形都要取到）拼成一個長方形，使其面積為a²+5ab+6b²．
①你畫的圖中需要C類卡片

6

張．
②可將多項式a²+5ab+6b²分解因式為

（a+2b）（a+3b）

．

（3）如圖③，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若用x、y表示四個矩形的兩邊長（x＞y），觀察圖案，指出以下正確的關系式

ABCD

（填寫選項）．
A．xy=

m2-n2

4

，B．x+y=m，C．x²-y²=m•n，D．x²+y²=

m2+n2

2

．

Answer 1

分析：（1）畫出圖形，結合圖象和面積公式得出即可；
（2）根據等式即可得出有6張，根據圖形和面積公式得出即可；
（3）根據題意得出x+y=m，m²-n²=4xy，根據平方差公式和完全平方公式判斷即可．

解答：解：（1）如圖：

（2a+b）（a+2b）=2a²+5ab+2b²．
故答案為：2a²+5ab+2b²；

（2）①∵長方形的面積為a²+5ab+6b²，
∴畫的圖中需要C類卡片6張，
故答案為：6．

②a²+5ab+6b²=（a+2b）（a+3b），
故答案為：（a+2b）（a+3b）．

（3）解：根據圖③得：x+y=m，
∵m²-n²=4xy，
∴xy=

m2-n2

4

，
x²-y²=（x+y）（x-y）=mn，
∴x²+y²=（x+y）²-2xy=m²-2×

m2-n2

4

=

m2+n2

2

，
∴選項A、B、C、D都正確．
故答案為：ABCD．

點評：本題考查了分解因式，長方形的面積，平方差公式，完全平方公式的應用，主要考查學生的觀察圖形的能力和化簡能力．