Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，點D為AB中點，且OD⊥AB，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則∠OEC為 度．

Answer 1

【答案】108

【解析】

試題分析：連接OB、OC，根據角平分線的定義求出∠BAO，根據等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得OA=OB，根據等邊對等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判斷出點O是△ABC的外心，根據三角形外心的性質可得OB=OC，再根據等邊對等角求出∠OCB=∠OBC，根據翻折的性質可得OE=CE，然后根據等邊對等角求出∠COE，再利用三角形的內角和定理列式計算即可得解．如圖，連接OB、OC，∵∠BAC=54°，AO為∠BAC的平分線， ∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，

又∵AB=AC， ∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°，

∵DO是AB的垂直平分線， ∴OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=27°，

∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°， ∵AO為∠BAC的平分線，AB=AC，

∴△AOB≌△AOC（SAS）， ∴OB=OC， ∴點O在BC的垂直平分線上，

又∵DO是AB的垂直平分線， ∴點O是△ABC的外心， ∴∠OCB=∠OBC=36°，

∵將∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折疊，點C與點O恰好重合， ∴OE=CE，∴∠COE=∠OCB=36°，

在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．