Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑的與相交于點E，連接CE．

（1）求證：；

（2）如果的面積為3，求的面積；

（3）如圖的角平分線BD交AC于點D，于點交于點F，連接，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6；（3）見解析

【解析】

（1）利用直角和公共角證相似；

（2）利用等腰直角三角形得到的相似比，再結合相似三角形面積比等于相似比的平方即可；

（3）設與交于點M，由圖的角平分線BD，可得CD=CM，再結合三線合一可得 ，最后由半徑相等得，可得內錯角相等，所以．

（1）∵為⊙的直徑，

∴．

∵，

∴．

又∵，

∴∽．

（2）∵，，

∴．

∴．

∴．

在Rt中，由勾股定理，得．

∴．

∵∽，

∴．

∵，

∴，即的面積等于6．

（3）設與交于點M．

∵平分，

∴

∵，

∴，．

∴．

∵，

∴

∴．

∵，

∴平分．

∴

∵，

∴．

∴．

∴∥．