Question

現(xiàn)有如圖1的8張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊長(zhǎng)分別是a、b、c．用其中4張紙片拼成如圖2的大正方形（空白部分是邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形）；用另外4張紙片拼成如圖3的大正方形（中間的空白部分是邊長(zhǎng)為c的正方形）．

（一）觀察：
從整體看，圖2和圖3的大正方形的面積都可以表示為（a+b）²，結(jié)論①依據(jù)整個(gè)圖形的面積等于各部分面積的和．
圖2中的大正方形的面積又可以用含字母a、b的代數(shù)式表示為：

a²+b²+2ab

，結(jié)論②
圖3中的大正方形的面積又可以用含字母a、b、c的代數(shù)式表示為：

c²+2ab

，結(jié)論③
（二）思考：
結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到一個(gè)等式

（a+b）²=a²+b²+2ab

；
結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到一個(gè)等式

a²+b²=c²

；
（三）應(yīng)用：
請(qǐng)你運(yùn)用（二）中得到的結(jié)論任意選擇下列兩個(gè)問(wèn)題中的一個(gè)解答：
（1）求1.46²+2×1.46×2.54+2.54²的值；
（2）若分別以直角三角形三邊為直徑，向外作半圓（如圖4），三個(gè)半圓的面積分別記作S₁、S₂、S₃，且S₁+S₂+S₃=20，求S₂的值．
（四）延伸（本題作為附加題，做對(duì)加2分）
若分別以直角三角形三邊為直徑，向上作三個(gè)半圓（如圖5），直角邊a=5，b=12，斜邊c=13，則表示圖中陰影部分面積和的數(shù)值是：

A

  A．有理數(shù)     B．無(wú)理數(shù)     C．無(wú)法判斷
請(qǐng)作出選擇，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（一）圖2的大正方形的面積等于四個(gè)直角三角形的面積加上兩個(gè)正方形的面積，圖3的大正方形的面積等于四個(gè)直角三角形的面積加上中間空白正方形的面積；
（二）根據(jù)兩種方法表示的大正方形的面積相等整理即可得解；
（三）（1）利用結(jié)論①進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)結(jié)論②求出S₁+S₃=S₂，然后進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（四）根據(jù)結(jié)論③求出陰影部分的面積等于直角三角形的面積，然后列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（一）圖2：a²+b²+4×

1

2

ab=a²+b²+2ab；
圖3：c²+4×

1

2

ab=c²+2ab；

（二）結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到一個(gè)等式：（a+b）²=a²+b²+2ab；
結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到一個(gè)等式：（a+b）²=c²+2ab，
即，a²+b²=c²；

（三）（1）1.46²+2×1.46×2.54+2.54²，
=（1.46+2.54）²，
=4²，
=16；

（2）S₁=

1

2

π（

b

2

）²=

πb2

8

，S₂=

1

2

π（

c

2

）²=

πc2

8

，S₃=

1

2

π（

a

2

）²=

πa2

8

，
∵a²+b²=c²，
∴S₁+S₃=

πb2

8

+

πa2

8

=

π(a2+b2)

8

=

πc2

8

=S₂，
∵S₁+S₂+S₃=20，
∴2S₂=20，
解得S₂=10；

（四）陰影部分面積和=S₁+S₂+

1

2

ab-S₃=

1

2

ab，
∵a=5，b=12，
∴陰影部分面積和=

1

2

×5×12=30，
∵30是有理數(shù)，
∴選A．
故答案為：（一）a²+b²+2ab，c²+2ab；（二）（a+b）²=a²+b²+2ab，a²+b²=c²；（四）A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，完全平方公式的幾何背景，讀懂題目材料的信息并用兩種方法準(zhǔn)確表示出同一個(gè)圖形的面積是解題的關(guān)鍵．