Question

如圖，△ABC是邊長為a的等邊三角形，D是BC邊的中點，過點D分別作AB、AC的垂線，垂足為E、F．

(1)計算：AD=           ，（2分）EF=            （2分）（用含a的式子表示）；
(2)求證：DE=DF．（6分）

Answer 1

(1)，；（2）證明詳見解析.

試題分析：此題考查了等邊三角形的性質與判定，勾股定理，以及含30°直角三角形的性質，熟練掌握判定與性質是解答本題的關鍵所在．（1）由三角形ABC為等邊三角形，得到AB=AC=BC=a，由D為BC的中點，可得：，利用三線合一得到AD⊥BC,利用勾股定理求出AD的長；由∠B=60°，DE垂直于AB，得到∠EDB=30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出,同理可得，所以AE=AF，進而可得等邊三角形AEF。而AE=AB-BE，即可求出EF的長。
（2）由AD為角平分線，且DE垂直于AB，DF垂直于AC，利用角平分線定理即可得到DE=DF．
試題解析：
解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=BC=a，∠B=60°，
又D為BC的中點，
∴
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
在Rt△ABD中，根據勾股定理得：

∵在，
∴
∴，同理可得：
∴AB-BE=AC-CF
即：AE=AF
∴△AEF是等邊三角形.
∴AE=EF=AF
∵
∴
（2）∵D為BC的中點，AB=AC=BC
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．