Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y=﹣x+12與x軸，y軸分別相交于點A，B，∠ABO的平分線與x軸相交于點C．

（1）如圖1，求點C的坐標；

（2）如圖2，點D，E，F分別在線段BC，AB，OB上（點D，E，F都不與點B重合），連接DE，DF，EF，且∠EDF+∠OBC=90°，求證：∠FED=∠AED；

（3）如圖3，在（2）的條件下，延長線段FE與x軸相交于點G，連接DG，若∠CGD=∠FGD，BF：BE=5：8，求直線DF的解析式．

Answer 1

【答案】（1）點C坐標為（4，0）；（2）見解析；（3）直線DF的解析式為y=﹣x+7．

【解析】整體分析：

（1）作CH⊥AB于H，由△OBC≌△HBC求BH，解Rt△ACH，求CH，即得OC；（2）過點D分別作DM⊥y軸于點M，DN⊥AB于點N，在NA上截取NP=FM，連接PD，用SAS證△DFM≌△DPN，得DF=DP，∠EDF=∠EDP，證△DEF≌△DEP；（3）過點F作FQ⊥BE于點Q，過點D作DM⊥y軸于M，DN⊥AB于N，DR⊥EF于R，DS⊥OG于點S，過點A作AT⊥BC交BC的延長線于T，連接AD．解Rt△ACT求ST，AT，∠ADT=∠DAT=45°，求DC，從而得DS，OS，求出D的坐標，判斷DF∥AB，即可求DF的解析式.

解：（1）如圖1，作CH⊥AB于H．

由題意A（9，0），B（0，12），

在Rt△AOB中，AB===15，tan∠OAB===，

∵∠CBH=∠CBO，∠CHB=∠COB，CB=CB，

∴△OBC≌△HBC，

∴BH=OB=12，OC=CH，AH=15﹣12=3，

在Rt△ACH中，tan∠CAH==，

∠CH=4，

∴OC=CH=4，

∴點C坐標為（4，0）．

（2）解：如圖2，過點D分別作DM⊥y軸于點M，DN⊥AB于點N，在NA上截取NP=FM，連接PD．

∵∠EDF+∠OBC=90°，∠BDM+∠OBC=90°，

∴∠EDF=∠BDM，同理∠BDN=∠BDM=∠MDN，

∴∠EDF=∠MDN，

∵∠DBM=∠DBN，DM⊥OB，DN⊥AB，

∴DM=DN，

∵∠FMD=∠PND=90°，NP=FM，

∴△DFM≌△DPN，

∴DF=DP，∠FDM=∠PDN，

∴∠FDM+∠FDN=∠PDN+∠FDN，即∠FDP=∠MDN，

∴∠EDF=∠FDP=∠EDP，

∵DE=DE，

∴△DEF≌△DEP，

∴∠FED=∠AED．

（3）解：如圖3，過點F作FQ⊥BE于點Q，過點D作DM⊥y軸于M，DN⊥AB于N，DR⊥EF于R，DS⊥OG于點S，過點A作AT⊥BC交BC的延長線于T，連接AD．

∵∠DEF=∠DEA，DR⊥EF，DN⊥EA，

∴DR=DN，同理DR=DS，

∴DN=DS，

∴∠BAD=∠OAD，同理∠OFD=∠DFG，

在Rt△ACT中，AC=9﹣4=5，tan∠ACT=tan∠BCO==3， =3，

設CT=m，則AT=3m．

∵CT2+AT2=AC2，

∴m2+（3m）2=52，

解得m=或﹣（舍），

∴CT=，AT=，

∵∠ADC=∠ABD+∠BAD=（∠OBA+∠BAO）=×90°=45°，

∴∠DAT=45°=∠ADC，

∴DT=AT=，

∴CD=DT﹣CT=，同理可得，CS=1，DS=3=OM，

∴OS=4﹣1=3，

∴點D坐標（3，3），

設BF=5n，則BE=8n，在Rt△BFQ中，cos∠FBQ===，

∴BQ=4n=EQ，

∴FQ⊥AB，∠BFQ=∠EFQ，

∴∠DFQ=∠DFC+∠EFQ=（∠OFG+∠BFE）=×180°=90°，

∴∠DFQ=∠BQF=90°，

∴DF∥AB，

設直線DF的解析式為y=﹣x+b，

∴3=﹣×3+b，

解得b=7，

∴直線DF的解析式為y=﹣x+7．