Question

如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）圖中有幾個等腰三角形？猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的數量關系，并說明理由．
（2）如圖②，若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，分別指出它們．在第（1）問中EF與BE、CF間的關系還存在嗎？
（3）如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF關系又如何？說明你的理由．
（4）若△ABC中∠C的平分線CO與三角形外角平分線BO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時EF與BE、CF關系又如何？（直接寫出來，不需說明理由）

Answer 1

分析：（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根據EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，則EO=BE，OF=FC，則EF=BE+FC．
（2）由（1）的證明過程可知：在證△OEB、△OFC是等腰三角形的過程中，與AB=AC的條件沒有關系，故這兩個等腰三角形還成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的結論仍成立．
（3）思路與（2）相同，只不過結果變成了EF=BE-FC；
（4）利用∠C的平分線CO與三角形外角平分線BO交于O得出∠4=∠5，∠3=∠2，進而得出EO=BE，FO=FC，求出答案即可．

解答：解：（1）圖中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
EF、BE、FC的關系是EF=BE+FC．理由如下：
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；

（2）當AB≠AC時，△EOB、△FOC仍為等腰三角形，（1）的結論仍然成立．
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；

（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：
同（1）可證得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC=∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF=EO-FO=BE-FC；

（4）如圖④所示：
∵△ABC中∠C的平分線CO與三角形外角平分線BO交于O，
∴∠4=∠5，∠3=∠2，
∵OE∥BC，
∴∠1=∠3，∠FOB=∠5，
∴∠1=∠2，∠FOB=∠4，
∴EO=BE，FO=FC，
∴FO=EO+EF=BE+EF=FC，
即EF與BE、CF關系為：EF=FC-BE．

點評：此題主要考查了等腰三角形的判定和性質，平行線、角平分線的性質等知識．進行線段的等量代換是正確解答本題的關鍵．