Question

已知△ABC的兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0有兩個實數根，第三邊BC的長為5．
（1）求證：無論k為何值，關于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0都有兩個不相等的實數根；
（2）當k為何值時，△ABC是直角三角形；
（3）當k為何值時，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）若要證明方程總有兩個不相等的實數根，只需證明△＞0．
（2）利用求根公式得到x₁=k+2，x₂=k+1，設AB=k+2，AC=k+1，再利用勾股定理的逆定理分類討論：AB²+AC²=BC²或AB²+BC²=AC²或AC²+BC²=AB²，分別建立關于k的方程，解出k的值，然后滿足兩根為正根的k的值為所求．．
（3）此題要分兩種情況進行討論，若AB=BC=5時，把5代入方程即可求出k的值，若AB=AC時，則△=0，列出關于k的方程，解出k的值即可．

解答：解：（1）因為△=b²-4ac=[-（2k+3）]²-4×1×（k²+3k+2）=1＞0，
所以方程總有兩個不相等的實數根．

（2）解：x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的解為x=

2k+3±1

2

，
∴x₁=k+2，x₂=k+1，
設AB=k+2，AC=k+1，
當AB²+AC²=BC²，即（k+2）²+（k+1）²=5²，
解得：k₁=-5，k₂=2，
由于AB=k+2＞0，AC=k+1＞0，所以k=2；
當AB²+BC²=AC²，即（k+2）²+5²=（k+1）²，
解得：k=-14，
由于AB=k+2＞0，AC=k+1＞0，所以k=-14舍去；
當AC²+BC²=AB²，即（k+1）²+5²=（k+2）²，
解得：k=11，
由于AB=k+2=13，AC=12，所以k=11，
∴k為2或11時，△ABC是直角三角形．

（3）若AB=BC=5時，5是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的實數根，把x=5代入原方程，得k=3或k=4．
由（1）知，無論k取何值，△＞0，所以AB≠AC，故k只能取3或4．
根據一元二次方程根與系數的關系可得：AB+AC=2k+3，當k=3時，AB+AC=9，則周長是9+5=14；
當k=4時，AB+AC=8+3=11．則周長是11+5=16．

點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系和根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系是：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根．在解題的過程中注意不要忽視三角形的邊長是正數這一條件．