Question

奇異果是新西蘭的特產(chǎn)，其實(shí)它的祖籍在中國(guó)，又名“獼猴桃”．奇異果除了富含維他命C、A、E以及鉀、鎂、纖維素外，還含有其它水果中很少見的營(yíng)養(yǎng)成分--葉酸、胡蘿卜素、鈣、黃體素、氨基酸，因而被營(yíng)養(yǎng)師稱之為“營(yíng)養(yǎng)活力的來(lái)源”．2011年1月份至6月份重慶某大型超市新西蘭品種的奇異果銷售價(jià)格y（元/盒）與月份x（1≤x≤6，且x為整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6
銷售價(jià)格y	90	45	30	22.5	18	15

7月份至12月份奇異果的銷售價(jià)格y（元/盒）與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系式：y=2x+20（7≤x≤12且x為整數(shù)）．該超市去年奇異果銷售數(shù)量z（盒）與月份x（1≤x≤12，且x為整數(shù)）之間存在如圖所示的變化趨勢(shì)．若去年該超市奇異果的進(jìn)價(jià)為每盒20元，銷售奇異果需要一名超市員工，該員工每月固定人工費(fèi)用為1500元．
（1）請(qǐng)觀察圖中的表格用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)直接寫出2011年1月份至6月份銷售價(jià)格y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)如圖所示的變化趨勢(shì)，直接寫出去年每月銷售數(shù)量z與x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出去年每月該超市的利潤(rùn)w（元）與月份x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式．（利潤(rùn)=收入-成本-費(fèi)用）
（3）從今年1月份開始為了調(diào)動(dòng)員工的積極性，超市決定每賣出一盒奇異果，該員工還可提成2元，奇異果的進(jìn)價(jià)為每盒26元，雖然今年1月份奇異果的銷售價(jià)格比去年12月份增加4元，但1月份銷售數(shù)量仍比去年12月份增加了0.4a%；2月份銷售價(jià)格在1月份的基礎(chǔ)上增加了0.5a%，由于其它水果陸續(xù)上市，2月份的銷售量與1月份持平，這樣2月份的利潤(rùn)達(dá)到了15780元，請(qǐng)參考以下數(shù)據(jù)，求出整數(shù)a的值．（參考數(shù)據(jù)：45²=2025，46²=2116，47²=2209）

Answer 1

分析：（1）設(shè)2011年1月份至6月份銷售價(jià)格y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=

k

x

，由統(tǒng)計(jì)表建立方程組求出其解；設(shè)1月份至6月份z₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式為z₁=k₁x+b₁，7月份至12月份z2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為z₂=k₂x+b₂，根據(jù)題意求出結(jié)論即可；
（2）設(shè)去年每月該超市的利潤(rùn)w（元），根據(jù)利潤(rùn)=收入-成本-費(fèi)用表示出w就可以求出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)題意可以求出去年12月的銷售價(jià)格：y=2×12+20=44元，今年1月份的銷售價(jià)格為：44+4=48元，去年12月的銷售數(shù)量為600盒，今年1月份的銷售數(shù)量為600（1+0.4a%）盒，2月份的銷售價(jià)格為48（1+0.5a%）元，根據(jù)2月份的利潤(rùn)為15780元為等量關(guān)系建立方程求出其解即可．

解答：解：（1）設(shè)2011年1月份至6月份銷售價(jià)格y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=

k

x

，由統(tǒng)計(jì)表為：
45=

k

2

，
k=90，
∴y=

90

x

（1≤x≤6）；
設(shè)1月份至6月份z₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式為z₁=k₁x+b₁，由圖象，得

150=k1+b1 750=5k1+b1

，
解得：

k1=150 b1=0

，
∴z₁=150x，（1≤x≤6，x為整數(shù)）
當(dāng)x=6時(shí)，z₁=900
設(shè)7月份至12月份z2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為z₂=k₂x+b₂，由圖象，得

900=6k2+b2 600=12k2+b2

，
解得：

k2=-50 b2=1200

，
∴z₂=-50x+1200（7≤x≤12，x為整數(shù)），

（2）設(shè)去年每月該超市的利潤(rùn)w（元），由題意，得
當(dāng)1≤x≤6，x為整數(shù)時(shí)，
w₁=（

90

x

-20）×150x-1500，
w₁=-3000x+12000；
當(dāng)7≤x≤12，x為整數(shù)時(shí)，
w₂=（2x+20-20）（-50x+1200）-1500，
w₂=-100x²+2400x-1500，

（3）由題意，得
去年12月的銷售價(jià)格：y=2×12+20=44元，
今年1月份的銷售價(jià)格為：44+4=48元，
去年12月的銷售數(shù)量為：600盒，
今年1月份的銷售數(shù)量為600（1+0.4a%）盒，
2月份的銷售價(jià)格為48（1+0.5a%）元，
∴[48（1+0.5a%）-26-2][600（1+0.4a%）]-1500=15780，
設(shè)a%=m，則有：
[48（1+0.5m）-26-2][600（1+0.4m）]-1500=15780，
整理，得
12m²+40m-11=0，
∴m=

-40± 402-4×12×(-11)

24

，
m=

-40± 2128

24

．
∵46²=2116，
∴m₁=0.25，m₂=-3.58．
∴a%=0.25或a%=-3.58，
∴a₁=25，a₂=-358（舍去），
∴a=25．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一次函數(shù)的運(yùn)用，二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，根據(jù)條件列一元二次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，解答時(shí)求函數(shù)的解析式是重點(diǎn)，根據(jù)2月份的利潤(rùn)為15780元建立方程是求a值得關(guān)鍵．