Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知直線AC的解析式為y=-

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2

x+2，直線AC交x軸于點C，交y軸于點A．
（1）若一個等腰直角三角形OBD的頂點D與點C重合，直角頂點B在第一象限內，請直接寫出點B的坐標；
（2）過點B作x軸的垂線l，在l上是否存在一點P，使得△AOP的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）試在直線AC上求出到兩坐標軸距離相等的所有點的坐標．

Answer 1

（1）∵直線AC的解析式為y=-

1

2

x+2，直線AC交x軸于點C，交y軸于點A，
∴A（0，2），C（4，0），
∴OC=4，
∵三角形OBD是等腰直角三角形，
∴B（2，2）；

（2）∵等腰三角形OBD是軸對稱圖形，對稱軸是l
∴點O與點C關于直線l對稱，
∴直線AC與直線l的交點即為所求的點P，
把x=2代入y=-

1

2

x+2，得y=1，
∴點P的坐標為（2，1）；

（3）設滿足條件的點Q的坐標為（m，-

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2

m+2），
由題意得-

1

2

m+2=m或-

1

2

m+2=-m，
解得m=

4

3

或m=-4，
∴點Q的坐標為（

4

3

，

4

3

）或（-4，4）．