Question

實驗與探究：
（1）在圖1，2，3中，已知平行四邊形ABCD的三個頂點A，B，D的坐標（如圖所示），求出圖1，2，3中的第四個頂點C的坐標，已求出圖1中頂點C的坐標是（5，2），圖2，3中頂點C的坐標分別是

 

，

 

；

（2）在圖4中，平行四邊形ABCD的頂點A，B，D的坐標（如圖所示），求出頂點C的坐標（C點坐標用含a，b，c，d，e，f的代數式表示）；

歸納與發現：
（3）通過對圖1，2，3，4的觀察和頂點C的坐標的探究，你會發現：無論平行四邊形ABCD處于直角坐標系中哪個位置，當其頂點坐標為A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）（如圖4）時，則四個頂點的橫坐標a，c，m，e之間的等量關系為

 

；縱坐標b，d，n，f之間的等量關系為

 

（不必證明）；運用與推廣：
（4）在同一直角坐標系中有拋物線y=x²-（5c-3）x-c和三個點G(-

1

2

c，

5

2

c)，S(

1

2

c，

9

2

c)，H（2c，0）（其中c＞0）．問當c為何值時，該拋物線上存在點P，使得以G，S，H，P為頂點的四邊形是平行四邊形？并求出所有符合條件的P點坐標．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形的性質：對邊平行且相等，得出圖2，3中頂點C的坐標分別是（e+c，d），（c+e-a，d）；
（2）分別過點A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A₁，B₁，C₁，D₁，分別過A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于點F．
在平行四邊形ABCD中，CD=BA，根據內角和定理，又∵BB₁∥CC₁，可推出∠EBA=∠FCD，△BEA≌△CFD．
依題意得出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．設C（x，y）．由e-x=a-c，得x=e+c-a．
由y-f=d-b，得y=f+d-b．繼而推出點C的坐標．
（3）在平行四邊形ABCD中，CD=BA，同理證明△BEA≌△CFD（同（2）證明）．然后推出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．又已知C點的坐標為（m，n），e-m=a-c，故m=e+c-a．由n-f=d-b，得出n=f+d-b．
（4）若GS為平行四邊形的對角線，由（3）可得P₁（-2c，7c）．要使P₁在拋物線上，
則有7c=4c²-（5c-3）×（-2c）-c，求出c的實際取值以及P₁的坐標，
若SH為平行四邊形的對角線，由（3）可得P₂（3c，2c），
同理可得c=1，此時P₂（3，2）；
若GH為平行四邊形的對角線，由（3）可得（c，-2c），
同理可得c=1，此時P₃（1，-2）；故綜上所述可得解．

解答：解：（1）（e+c，d），（c+e-a，d）．（2分）

（2）分別過點A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A₁，B₁，C₁，D₁，
分別過A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于點F．
在平行四邊形ABCD中，CD=BA，
又∵BB₁∥CC₁，
∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度．
∴∠EBA=∠FCD．
又∵∠BEA=∠CFD=90°，
∴△BEA≌△CFD．（5分）
∴AE=DF=a-c，BE=CF=d-b．
設C（x，y）．
由e-x=a-c，得x=e+c-a．
由y-f=d-b，得y=f+d-b．
∴C（e+c-a，f+d-b）．（6分）
（此問解法多種，可參照評分）

（3）m=c+e-a，n=d+f-b．或m+a=c+e，n+b=d+f．（10分）

（4）若GS為平行四邊形的對角線，由（3）可得P₁（-2c，7c）．
要使P₁在拋物線上，
則有7c=4c²-（5c-3）×（-2c）-c，
即c²-c=0．
∴c₁=0（舍去），c₂=1．此時P₁（-2，7）．（11分）
若SH為平行四邊形的對角線，由（3）可得P₂（3c，2c），
同理可得c=1，此時P₂（3，2）．（12分）
若GH為平行四邊形的對角線，由（3）可得（c，-2c），
同理可得c=1，此時P₃（1，-2）．（13分）
綜上所述，當c=1時，拋物線上存在點P，使得以G，S，H，P為頂點的四邊形是平行四邊形．
符合條件的點有P₁（-2，7），P₂（3，2），P₃（1，-2）．（14分）

點評：考查平行四邊形的性質，平面直角坐標系內的坐標，平行線的性質等知識．理解平行四邊形的特點結合平面直角坐標系是解決本題的關鍵．