Question

如圖，點C是直徑為4的半圓O上的一個動點（與A、B兩點不重合），CD⊥AB于D，點P是線段AC的中點，設BD=x，DP=y．
（1）求y與x的函數關系式，并寫出定義域；
（2）如果∠B=∠A，求BD的長；
（3）是否存在這樣的x，使tanB=，如果存在，請求出x的值？如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）連接OP，
∵P是AC的中點，
∴OP⊥AC，又CD⊥AB，
∴∠OPA=∠CDA=90°，又∠OAP=∠CAD，
∴△AOP∽△ACD，
∴，
∵P為AC中點，
∴AP=PC=AC，又CD⊥AD，即△ADC為直角三角形，
∴DP=AC，又AB=4，DP=y，BD=x，
∴AC=2y，AP=y，AO=2，AD=4-x，
∴=，
∴y=（0＜x＜4）；

（2）當∠B=∠A時，
∵AP=DP，
∴∠A=∠PDA，
∵∠B=∠A，即∠A=2∠B，
∴∠PDA=2∠B，又∠PDA為△PDB的外角，
∴∠PDA=∠B+∠BPD，
∴∠B=∠BPD，
∴DP=DB，
即y=x，即x²+x-4=0，
解得：x₁=，x₂=（舍去），
∴BD=；

（3）作PE⊥AO，又CD⊥AB，
∴PE∥CD，又P為AC中點，
∴E為AD中點，即PE為△ACD的中位線，
在直角三角形ACD中，AC=2y，AD=4-x，又y=
根據勾股定理得：CD=
===，
∴PE=，
∵PA=PD，PE⊥AD，
∴E為AD中點，即ED=AD=（AB-BD）=（4-x），
∴BE=DE+BD=，
∴tgB=，
化簡得：5x²-8x+16=0，
∵△=（-8）²-4×5×16=＜0，即方程無實根，
∴不存在這樣的x，使tanB=．
分析：（1）連接OP，由垂徑定理得到OP與AC垂直，又CD與AB垂直，得到一對直角相等，再由∠A為公共角，根據兩對對應角相等的三角形相似，得到三角形AOP與三角形ACD相似，由相似得比例，再由直角三角形ACD中，P為斜邊AC的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AP=PD=y，由直徑為4得到圓的半徑OA=2，且AD=AB-BD=4-x，分別把表示出的各條邊代入得到的比例式中，即可得到y與x的關系式，根據x表示線段BD故x大于0，且負數沒有平方根得到x小于4（D不與A、B重合，故x不等于4），從而得到函數的定義域；
（2）由∠B=∠A得到∠A=2∠B，而AP=PD，根據等邊對等角得到∠A=∠PDA，故∠PDA=2∠B，又∠PDA為三角形PDB的外角，根據三角形的外角性質得∠PDA=∠B+∠BPD，等量代換得到∠BPD=∠PBD，根據等角對等邊得到PD=BD，即y=x，把（1）得到的函數關系式中y換為x，得到關于x的一元二次方程，求出方程的解即可得到BD的長；
（3）在直角三角形ACD中，由AD與AC的長，根據勾股定理表示出CD的長，由PE與CD都與AD垂直得到PE與CD平行，根據P為AC中點得到E為AD中點，即PE為三角形ACD的中位線，根據三角形中位線定理得到PE等于CD的一半，進而表示出PE，又E為AD的中點，得ED等于AD的一半，即DE等于AD-BD的一半，表示出ED的長，用DE+BD表示出EB的長，在直角三角形PBE中，根據正切函數的定義列出關于x的方程，由根的判別式小于0得到此方程無解，故不存在這樣的x，使tanB為．
點評：此題綜合考查了相似三角形的判斷與性質，三角形的中位線定理，勾股定理以及一元二次方程的解法，是一道探究型的題，第一問是探究兩變量之間的關系，利用垂徑定理添加輔助線，構造相似三角形是解本問的關鍵；第三問是探究存在性的題，解答此類題常常先對結論作出存在的假設，然后由假設出發，結合已知條件、圖形以及已證的條件，借助數學思想和方法，進行正確的計算和推理，若矛盾，說明不存在；若無矛盾，說明假設正確．