Question

九(1)班數學課題學習小組，為了研究學習二次函數問題，他們經歷了實踐一應用——探究的過程：

  (1)實踐：他們對一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道(如圖①)進行測量，測得一隧道的路面寬為10m．隧道頂部最高處距地面6.25m，并畫出了隧道截面圖．建立了如圖②所示的直角坐標系．請你求出拋物線的解析式．

  (2)應用：按規定機動車輛通過隧道時，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5m．為了確保安全．問該隧道能否讓最寬3m．最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛(兩車并列行駛時不考慮兩車間的空隙)?

  (3)探究：該課題學習小組為進一步探索拋物線的有關知識，他們借助上述拋物線模型塑．提出了以下兩個問題，請予解答：

Ⅰ．如圖③，在拋物線內作矩形ABCD，使頂點C、D落在拋物線上．頂點A、B落在x軸上．設矩形ABCD的周長為，求的最大值。

Ⅱ．如圖④，過原點作一條的直線OM，交拋物線于點M．交拋物線對稱軸于點N，P為直線OM上一動點，過P點作x軸的垂線交拋物線于點Q。問在直線OM上是否存在點P，使以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：根據題意可知：拋物線的頂點坐標為(5，6.25)，∴設函數解析式為y=a(x－5)²+6.25.

又拋物線經過原點（0，0），∴0=a(0-5)²+6.25. 解得：a=－

∴函數解析式為y=－(x－5)²+6.25   （0≤x≤10）

解：,設并行的兩車為矩形ABCD，∴AB=3×2=6,AD=3.5 

∴A點橫坐標為2，代入y=－(x－5)²+6.25

∴y=－(2－5)²+6.25=4＞3.5

所以該隧道能讓最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛

解：設A點橫坐標為m，則AB=10-2m，D（m，）

∴矩形ABCD的周長為l=2（AD+AB）=2（10-2m+）==

∵a=－＜0，拋物線開口向下，  ∴當m=1，矩形ABCD的周長l的最大值為

解：存在這樣的點P，使得△PNQ為等腰直角三角形。

直線OM：y=x與對稱軸的交點N（5，5）,與直線段PQ交于點P，顯然當Q點縱坐標為5時,QN//x軸,∠ONQ=∠NOx=45°,△PQN為等腰直角三角形。

此時，5=，解得：m=5±

∴當P(5-，5-)或P(5+，5+)時，△PQN為等腰直角三角形。