Question

【題目】在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點P在線段BC上（不與點B重合），E在BO上，且∠BPE=，過點B作PE交PE的延長線于F，交AC于點G．

（1）當點P與點C重合時（如圖1），填空△BOG≌_________， =_________；

（2）當點P不與點C重合時（圖2），猜想：的值為_________．并證明你的結論；

（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖3），若∠ACB=α，則直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）△POE，；（2）；（3）tanα．

【解析】

試題分析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，P與C重合，∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°．∵PF⊥BG，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°﹣∠BGO，∠EPO=90°﹣∠BGO．∴∠GBO=∠EPO．∴△BOG≌△POE（AAS）．∴PE=BG，∵∠BPE=，∴∠BPE=∠GPF，∵PF⊥BG，∴BF=BG，∴=，故答案為△POE，；

（2）證明如下：如圖2，

過P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB=45°，∴∠NBP=∠NPB．∴NB=NP．∵∠MBN=90°﹣∠BMN，∠NPE=90°﹣∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE．∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90°．∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF=MF，即BF=BM．∴BF=PE，即： =．故答案為；

（3）如圖2，過P作PM∥AC交BG于點M，交BO于點N，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°．由（2）同理可得，BF=BM，∠MBN=∠EPN． ∵∠BNM=∠PNE=90°，∴△BMN∽△PEN．∴．在Rt△BNP中，tanα=，∴=tanα，即： =tanα．∴=tanα．