Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB上一點，以BD為直徑的⊙O和AC相切于點P．

（1）求證：BP平分∠ABC；

（2）若PC=1，AP=3，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）連接OP，首先證明OP∥BC，推出∠OPB=∠PBC，由OP=OB，推出∠OPB=∠OBP，由此推出∠PBC=∠OBP；
（2）作PH⊥AB于H．首先證明PC=PH=1，在Rt△APH中，求出AH，由△APH∽△ABC，求出AB、BH，由Rt△PBC≌Rt△PBH，推出BC=BH即可解決問題.

試題解析：

（1）連接OP，

∵AC是⊙O的切線，

∴OP⊥AC，

∴∠APO=∠ACB=90°，

∴OP∥BC，

∴∠OPB=∠PBC，

∵OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP，

∴∠PBC=∠OBP，

∴BP平分∠ABC；

（2）作PH⊥AB于H．則∠AHP=∠BHP=∠ACB=90°，

又∵∠PBC=∠OBP，PB=PB，

∴△PBC≌△PBH ，

∴PC=PH=1，BC=BH，

在Rt△APH中，AH=，

在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2

∴(AP+PC)2+BC2=(AH+HB)2，

即42+BC2=(+BC)2，

解得．