Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A，B重合的一個動點，延長BP到點C，使PC＝PB，D是AC的中點，連接PD，PO．

（1）求證：△CDP≌△POB；

（2）填空：

①若AB＝4，則四邊形AOPD的最大面積為_______，此時BD=_______；

②連接OD，當∠PBA的度數為________時，四邊形BPDO是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①4，；②60°

【解析】

（1）根據中位線的性質得到DP∥AB，DP=AB，由SAS可證△CDP≌△POB；

（2）①當四邊形AOPD的AO邊上的高等于半徑時有最大面積，依此即可求得BD；

②根據有一組對應邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得四邊形BPDO是平行四邊形，再根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形，以及等邊三角形的判定和性質即可求解．

(1)證明：∵PC=PB，D是AC的中點，

∴DP∥AB，

∴DP=AB，∠CPD=∠PBO，

∵BO=AB，

∴DP=BO，

在△CDP與△POB中，

∴△CDP≌△POB(SAS)；

(2)①當四邊形AOPD的AO邊上的高等于半徑時有最大面積，

(4÷2)×(4÷2)

=2×2

=4；

BD==

②如圖：

∵DP∥AB，DP=BO，

∴四邊形BPDO是平行四邊形，

∵四邊形BPDO是菱形，

∴PB=BO，

∵PO=BO，

∴PB=BO=PO，

∴△PBO是等邊三角形，

∴∠PBA的度數為60°.