Question

如圖，菱形ABCD的邊長為20cm，∠ABC=120°．動點P、Q同時從點A出發，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路線向點C運動；Q以2

3

cm/s的速度，沿A→C的路線向點C運動．當P、Q到達終點C時，整個運動隨之結束，設運動時間為t秒．
（1）在點P、Q運動過程中，請判斷PQ與對角線AC的位置關系，并說明理由；
（2）若點Q關于菱形ABCD的對角線交點O的對稱點為M，過點P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點N．
①當t為何值時，點P、M、N在一直線上？
②當點P、M、N不在一直線上時，是否存在這樣的t，使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）此問需分兩種情況，當0＜t≤5及5＜t≤10兩部分分別討論得PQ⊥AC．
（2）①由于點P、M、N在一直線上，則AQ+QM=AM，代入求得t的值．
②假設存在這樣的t，使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形，但是需分點N在AD上時和點N在CD上時兩種情況分別討論．

解答：解：（1）若0＜t≤5，則AP=4t，AQ=2

3

t．
則

AP

AQ

=

4t

2 3 t

=

2 3

3

，
又∵AO=10

3

，AB=20，
∴

AB

AO

=

20

10 3

=

2 3

3

．
∴

AP

AQ

=

AB

AO

．
又∵∠CAB=30°，
∴△APQ∽△ABO．
∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．
當5＜t≤10時，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°，即PQ⊥AC．
∴在點P、Q運動過程中，始終有PQ⊥AC．

（2）①如圖，在Rt△APM中，
∵∠PAM=30°，AP=4t，
∴AM=

8 3 t

3

．
在△APQ中，∠AQP=90°，
∴AQ=AP•cos30°=2

3

t，
∴QM=AC-2AQ=20

3

-4

3

t．
由AQ+QM=AM得：2

3

t+20

3

-4

3

t=

8 3 t

3

，
解得t=

30

7

．
∴當t=

30

7

時，點P、M、N在一直線上．

②存在這樣的t，使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形．
設l交AC于H．
如圖1，當點N在AD上時，若PN⊥MN，則∠NMH=30°．
∴MH=2NH．得20

3

-4

3

t-

2 3 t

3

=2×

8 3 t

3

，解得t=2．
如圖2，當點N在CD上時，若PM⊥PN，則∠HMP=30°．
∴MH=2PH，同理可得t=

20

3

．
故當t=2或

20

3

時，存在以PN為一直角邊的直角三角形．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，綜合性強，較為復雜，難度較大．