Question

【題目】如圖，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，以AB的中點D為圓心，作圓心角為90°的扇形DEF，點C恰在EF上，設∠BDF=α（0°＜α＜90°），當α由小到大變化時，圖中陰影部分的面積（　　）

A. 由小到大 B. 由大到小 C. 不變 D. 先由小到大，后由大到小

Answer 1

【答案】C

【解析】試題分析：作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，構造正方形DMCN，利用正方形和等腰直角三角形的性質，通過證明△DMG≌△DNH，把△DHN補到△DNG的位置，得到四邊形DGCH的面積=正方形DMCN的面積，于是得到陰影部分的面積=扇形的面積﹣正方形DMCN的面積，即為定值．

試題解析：解：作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，連接DC，

∵CA=CB，∠ACB=90°，

∴∠A=∠B=45°，

DM=AD=AB，DN=BD=AB，

∴DM=DN，

∴四邊形DNCN是正方形，

∴∠MDN=90°，

∴∠MDG=90°﹣∠GDN，

∵∠EDF=90°，

∴∠NDH=90°﹣∠GDN，

∴∠MDG=∠NDH，

在△DMG和△DNH中，

，

∴△DMG≌△DNH，

∴四邊形DGCH的面積=正方形DMCN的面積，

∵正方形DMCN的面積=DM2=AB2，

∴四邊形DGCH的面積=，

∵扇形FDE的面積==，

∴陰影部分的面積=扇形面積﹣四邊形DGCH的面積=（定值），

故選C．