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精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
請你閱讀引例及其分析解答,希望能給你以啟示,然后完成對探究一和探究二中間題的解答.
引例:設a,b,c為非負實數,求證:
a2+b2
+
b2+c2
+
c2+a2
2
(a+b+c),
分析:考慮不等式中各式的幾何意義,我們可以試構造一個邊長為a+b+c的正方形來研究.
解:如圖①設正方形的邊長為a+b+c,
則AB=
a2+b2

BC=
b2+c 2

CD=
a2+c2

顯然AB+BC+CD≥AD,
a2+b2
+
b2+c2
+
c2+a2
2
(a+b+c)
探究一:已知兩個正數x、y,滿足x+y=12,求
x2+4
+
y2+9
的最小值:
解:(圖②僅供參考)
探究二:若a、b為正數,求以
a2+b2
4a2+b2
a2+4b2
為邊的三角形的面積.
分析:(1)設矩形的兩邊長分別為x+y=12,2+3,根據勾股定理得到AB=
x2+4
,BC=
y2+9
,則AB+BC≥AC,利用勾股定理計算AC即可;
(2)設矩形ABCD的兩邊長分別為2a、2b,E、F分別為AB、AD的中點,根據勾股定理得到CF=
4a 2+b2
,CE=
a2+4b2
,EF=
a2+b2
,因此以
a2+b2
4a2+b2
a2+4b2
為邊的三角形的面積為S△CEF,然后根據S△CEF=S矩形ABCD-S△CDE-S△AEF-S△BCE計算即可.
解答:解:(1)如圖,設矩形的兩邊長分別為x+y=12,2+3,
AB=
x2+4
,BC=
y2+9

顯然AB+BC≥AC,當A、B、C三點共線時,AB+BC最小,
x2+4
+
y2+9
的最小值為AC,
而AC=
122+52
=13,
x2+4
+
y2+9
的最小值為13;

(2)如圖,設矩形ABCD的兩邊長分別為2a、2b,E、F分別為AB、AD的中點,
則CF=
4a 2+b2
,CE=
a2+4b2
,EF=
a2+b2

∴以
a2+b2
4a2+b2
a2+4b2
為邊的三角形的面積為S△CEF
而S△CEF=S矩形ABCD-S△CDE-S△AEF-S△BCE
=4ab-
1
2
•2a•b-
1
2
ab-
1
2
a•2b
=
3
2
ab,
∴以
a2+b2
4a2+b2
a2+4b2
為邊的三角形的面積為
3
2
ab.
點評:本題考查了利用幾何方法求幾個無理式和的最值問題:先根據題意畫出幾何圖形,再根據勾股定理表示各式的幾何意義,然后根據幾何性質討論最值問題.
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