Question

如圖，直線DE與BC不平行，已知A為線段DE上一點(diǎn)且滿足

DA

AE

=

1

n

，n＞0，設(shè)△DBC、△ABC、△EBC的面積分別為S₁、S₂、S₃，則滿足S₁、S₂、S₃之間的關(guān)系式S2=

n

n+1

(S1+S3)的點(diǎn)A為（　　）

• A、只能是線段DE的中點(diǎn)
• B、線段DE的中點(diǎn)和三等分點(diǎn)
• C、線段DE上除兩端點(diǎn)外任意一點(diǎn)都滿足
• D、線段DE上滿足n為整數(shù)的點(diǎn)

Answer 1

分析：首先分別假設(shè)A是線段DE的中點(diǎn)與A是線段DE的三等分點(diǎn)，再依次分析．分別過點(diǎn)D，A，E作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，EF⊥BC于F，依依據(jù)梯形中位線與三等分線的性質(zhì)求解即可．

解答：解：①分別過點(diǎn)D，A，E作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，EF⊥BC于F，
∴DM∥AN∥EF，
若A是線段DE的中點(diǎn)，
∴DA=AE，
∴MN=FN，
∴AN=

1

2

（DM+EF），
∴S_△ABC=

1

2

BC•AN=

1

2

BC•

1

2

（DM+EF）=

1

4

BC•（DM+EF），S_△DBC+S_△EBC=

1

2

BC•DM+

1

2

BC•EF=

1

2

BC•（DM+EF），
∴S_△ABC=

1

2

（S_△DBC+S_△EBC）．
∵DA：AE=1：n，
∴n=1．
∴S₂=

1

2

（S₁+S₃）．
故A是線段DE的中點(diǎn)時(shí)成立．
②若A是線段DE的三等分點(diǎn)，
（如圖：E、F是梯形的腰AB、CD的三等分點(diǎn)，則可得：EF=

2

3

（BC+

1

2

AD），）
同①，可證得：AN=

2

3

（DM+

1

2

EF）．
∵S_△ABC=

1

2

BC•AN=

1

2

BC•

1

2

（DM+EF），S_△DBC+S_△EBC=

1

2

BC•DM+

1

2

BC•EF=

1

2

BC•（DM+EF），
∴此時(shí)不成立．
故A正確，B，C，D錯(cuò)誤．
故選A．

點(diǎn)評：此題考查了梯形中位線的性質(zhì)與三角形面積問題．此題難度較大，注意分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．