Question

如圖，已知△ABC的面積為4，且AB=AC，現將△ABC沿CA方向平移CA的長度，得到△EFA．
（1）判斷AF與BE的位置關系，并說明理由；
（2）若∠BEC=15°，求AC的長．

Answer 1

解：（1）AF⊥BE．
理由如下：連接BF，
∵△AEF是由△ABC沿CA的方向平移CA長度得到，
∴BF=AC，AB=EF，CA=AE．
∵AB=AC，
∴AB=BF=EF=AE．
∴四邊形ABFE是菱形．
∴AF⊥BE．

（2）作BM⊥AC于點M．
∵AB=AC=AE，∠BEC=15°，
∴∠BAC=30°．
∴BM=AB=AC．
∵S_△ABC=4，
∴•AC•AC=4，
∴AC=4．
分析：（1）首先連接BF，由△AEF是由△ABC沿CA的方向平移CA長度得到，即可得BF=AC，AB=EF，CA=AE，又由AB=AC，證得AB=BF=EF=AE，根據由四條邊都相等的四邊形是菱形，即可證得四邊形ABFE是菱形，則可得AF⊥BE；
（2）首先作BM⊥AC于點M，由AB=AC=AE，∠BEC=15°，求得∠BAC=30°，BM=AB=AC，然后利用△ABC的面積求解方法，即可求得AC的長．
點評：此題考查了菱形的判定與性質，三角形面積的求解方法等知識．此題難度不大，注意輔助線的作法與數形結合思想的應用．