Question

已知拋物線y=x²-2x+c與x軸交于A．B兩點，與y軸交于C點，拋物線的頂點為D點，點A的坐標為（-1，0）．
（1）求D點的坐標；
（2）如圖1，連接AC，BD并延長交于點E，求∠E的度數；
（3）如圖2，已知點P（-4，0），點Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC于點M，當∠PMA=∠E時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點A的坐標代入到拋物線的解析式求得c值，然后配方后即可確定頂點D的坐標；
（2）連接CD、CB，過點D作DF⊥y軸于點F，首先求得點C的坐標，然后證得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根據∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到∠E=∠OCB=45°；
（3）設直線PQ交y軸于N點，交BD于H點，作DG⊥x軸于G點，增大△DGB∽△PON后利用相似三角形的性質求得ON的長，從而求得點N的坐標，進而求得直線PQ的解析式，
設Q（m，n），根據點Q在y=x²-2x-3上，得到-m-2=m²-2m-3，求得m、n的值后即可求得點Q的坐標．
解答：解：（1）把x=-1，y=0代入y=x²-2x+c得：1+2+c=0
∴c=-3
∴y=x²-2x-3=y=（x-1）²-4
∴頂點坐標為（1，-4）；

（2）如圖1，連接CD、CB，過點D作DF⊥y軸于點F，
由x²-2x-3=0得x=-1或x=3
∴B（3，0）
當x=0時，y=x²-2x-3=-3
∴C（0，-3）
∴OB=OC=3
∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
BC=3
又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，
∴∠FCD=45°，CD=，
∴∠BCD=180°-∠OCB-∠FCD=90°．
∴∠BCD=∠COA
又∵
∴△DCB∽△AOC，
∴∠CBD=∠OCA
又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB
∴∠E=∠OCB=45°，

（3）如圖2，設直線PQ交y軸于N點，交BD于H點，作DG⊥x軸于G點
∵∠PMA=45°，
∴∠EMH=45°，
∴∠MHE=90°，
∴∠PHB=90°，
∴∠DBG+∠OPN=90°
又∴∠ONP+∠OPN=90°，
∴∠DBG=∠ONP
又∵∠DGB=∠PON=90°，
∴△DGB=∠PON=90°，
∴△DGB∽△PON
∴
即：=
∴ON=2，
∴N（0，-2）
設直線PQ的解析式為y=kx+b
則
解得：
∴y=-x-2
設Q（m，n）且n＜0，
∴n=-m-2
又∵Q（m，n）在y=x²-2x-3上，
∴n=m²-2m-3
∴-m-2=m²-2m-3
解得：m=2或m=-
∴n=-3或n=-
∴點Q的坐標為（2，-3）或（-，-）．
點評：本題考查了二次函數的綜合知識，難度較大，題目中滲透了許多的知識點，特別是二次函數與相似三角形的結合，更是一個難點，同時也是中考中的常考題型之一．